若函数F(x)=f(x)-\frac{1}{2}x^{2}在[1,+\infty)上单调递增，求实数a的取值范围；

当a = 1时，求证：对于任意的x\in(0,+\infty)，\frac{f(x)}{x}-\ln x+\frac{1}{x}\geqslant1。

江煜心想：“就这？”他抢先一步按下回答键，老师示意他回答，他大布走向白板写了起来：

求函数单调区间（a = 1时）

- 当a = 1时，f(x)=e^{x}-x - 1，对f(x)求导得f^\prime(x)=e^{x}-1。

- 令f^\prime(x)=0，即e^{x}-1 = 0，解得x = 0。

- 当x\lt0时，e^{x}-1\lt0，f^\prime(x)\lt0，函数f(x)单调递减；

- 当x\gt0时，e^{x}-1\gt0，f^\prime(x)\gt0，函数f(x)单调递增。

- 所以f(x)的单调递减区间是(-\infty,0)，单调递增区间是(0,+\infty)。

求a的取值范围（F(x)单调递增）

- 已知F(x)=e^{x}-ax - 1-\frac{1}{2}x^{2}，对F(x)求导得F^\prime(x)=e^{x}-a - x。

- 因为F(x)在[1,+\infty)上单调递增，所以F^\prime(x)\geqslant0在[1,+\infty)上恒成立。

- 即e^{x}-a - x\geqslant0在[1,+\infty)上恒成立，那么a\leqslant e^{x}-x在[1,+\infty)上恒成立。

- 令g(x)=e^{x}-x，x\in[1,+\infty)，对g(x)求导得g^\prime(x)=e^{x}-1。

- 当x\in[1,+\infty)时，g^\prime(x)=e^{x}-1\gt0，所以g(x)在[1,+\infty)上单调递增。

- 则g(x)_{\min}=g(1)=e - 1，所以a\leqslant e - 1。

证明不等式（a = 1时）

- 当a = 1时，要证\frac{f(x)}{x}-\ln x+\frac{1}{x}\geqslant1，即证\frac{e^{x}-x - 1}{x}-\ln x+\frac{1}{x}\geqslant1，也就是证\frac{e^{x}-x - 1 + 1}{x}-\ln x\geqslant1，即证\frac{e^{x}-x}{x}-\ln x\geqslant1。

- 令h(x)=\frac{e^{x}-x}{x}-\ln x，x\in(0,+\infty)，对h(x)求导得h^\prime(x)=\frac{(e^{x}-1)x-(e^{x}-x)}{x^{2}}-\frac{1}{x}。

- 化简h^\pr

旁边的主持说：“a组江煜答对！下一题。”

……

就这样比赛持续到晚上十一点多才结束。江煜跟大家道别就回家了，刚打开门就看到夜荷坐在沙发上好像在等人，看起来很焦急，江煜笑着坐在他身边：“夜荷！哈哈哈，你在干嘛？”

夜荷看了他一眼说：“江煜你吓死我和奶奶了好嘛！打电话不接，你去哪了？”

他愣了一下说：“我去参加竞赛了，怎么了嘛？”

夜荷拍了拍自己说：“奶奶打电话给我问你今天晚上回来了没，奶奶和她闺蜜去度假了，让我照顾你，所以说你老老实实的，啊！江煜。”

要老老实实的……